$\begin{aligned} & \operatorname{det}(A)=|A| \\ & =\left[\begin{array}{ccc}e^t & e^{-t} & e^{-1} \sin t \\ e^t & -e^t \cos t-e^{-t} \sin t & -e^{-t} \sin t+e^{-t} \cos t \\ e^t & 2 e^{-t} \sin t & -2 e^{-1} \cos t\end{array}\right] \\ & =e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -\cos t-\sin t & -\sin t+\cos t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t\end{array}\right] \\ & =e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 \cos t+\sin t & 2 \sin t-\cos t \\ 0 & -\cos t-3 \sin t & -\sin t+3 \cos t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t\end{array}\right] R_1 \rightarrow R_1-R_2 \\ & R_2 \rightarrow R_2+R_3 \\ & =e^{-t}\left[\begin{array}{ccc}0 & 5 \sin t & 5 \cos t \\ 0 & -\cos t-3 \sin t & -\sin t+3 \cos t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t\end{array}\right] R_1 \rightarrow R_1+2 R_2 \\ & =5 e^{-t} \neq 0, \forall t \in R \\ & \Rightarrow A \text { is invertible }\end{aligned}$