$I=\int_{1 / 4}^{3 / 4} \cos \left(2 \cot ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) d x\right)$
$\begin{aligned} & \int_{1 / 4}^{3 / 4} \cos \left(2\left(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1+x}}\right)\right) d x \\ & \int_{1 / 4}^{3 / 4} \frac{1-\tan ^2\left(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)}{1+\tan ^2\left(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)} d x \\ & =\int_{1 / 4}^{3 / 4} \frac{1-\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)} d x=\int_{1 / 4}^{3 / 4} \frac{-2 x}{2} d x \\ & =\int_{1 / 4}^{3 / 4}(-x) d x=-\left(\frac{x^2}{2}\right)_{1 / 4}^{3 / 4} \\ & =-\frac{1}{2}\left[\frac{9}{16}-\frac{1}{16}\right] \\ & =-\frac{1}{4}\end{aligned}$